Здравствуйте, Анна!
Вы правильно указываете, что в ПТС расписался новый собственник. Собственником он стал в момент заключения договора купли-продажи и передачи ему автомобиля. (ст.454, 456, 433 ГК РФ).
Изменение регистрационных данных о собственнике в регистрационном отделе ГИБДД является административным актом и не порождает последствий, связанных с приобретением права собственности.
Таким образом, в соответствии со ст.209 ГК РФ лицо, которому Вы продали автомобиль вправе совершать с ним любые не запрещенные законом сделки, в том числе подарить другу.
В этом случае при изменении регистрационных данных другу понадобится и договор купли-продажи, по которому Вы продали автомобиль.
Вы не обязаны продавать автомобиль еще раз и переписывать договор.
Как отмечено в Обзоре судебной практики Верховного Суда РФ N 2 (2017), утв. Президиумом Верховного Суда РФ 26.04.2017
Таким образом, новый владелец с учетом имеющегося у него договора купли-продажи обладает абсолютным правом собственника на распоряжение своим имуществом и может свободно его подарить своему другу заключив с ним договор дарения.
При этом его новый друг на основании данного договора может поставить автомобиль на учет на свое имя.
Вы же не обязаны переписывать договор купли-продажи, и вправе снять автомобиль с учета по истечении 10 дней с момента заключения Вами договора купли-продажи.