Есть ли ограничения из-за этого в карьерном росте в органах Прокуратуры?

Здравствуйте, Валерия.

может ли это являться основанием для отказа в прохождении мной гражданской службы?

Ограничения, связанные с поступлением на гражданскую службу определены в ст. 16федерального закона «О государственной гражданской службе Российской Федерации» от 27.07.2004 N 79-ФЗ. 

Наличие судимости (в данном случае не имеет значение погашена она или нет) у родственников не является основанием для отказа на поступление на гос. службу. 

 Есть ли ограничения из-за этого в карьерном росте в органах Прокуратуры?

Требования предъявляемые к прокурорским работникам регламентированы ст. 40.1 федерального закона «О прокуратуре „

Также на прокурорских работников распространяются ограничения, запреты и обязанности, установленные федеральным законом “О противодействии коррупции» и статьями 17, 18, 20, 20.1 федерального закона «О государственной гражданской службе Российской Федерации». 

Наличие судимости родственников также не как не должно влиять на Вас. 

Однако на практике данное обстоятельство может повлиять на поступление и прохождение службы, однако официально будет указано иное основание.