Добрый день!
Если Ваш брак официально не зарегистрирован и Вы не являетесь поручителем, то на Вас не ложится обязанность по погашению данного кредита.
По поводу страховки — Вам нужно собрать пакет документов, подтверждающих страховой случай (их перечень можно узнать в страховой компании) и представить их в страховую. Как правило, сейчас можно документы предоставлять через интернет-сайт, либо почтовым отправлением (но тогда необходимо делать это с описью вложения), но, скорее всего, страховая захочет и с оригиналами ознакомиться.
Чтобы Вам этим заняться, скорее всего, потребуется нотариально удостоверенная доверенность от Вашего гражданского мужа, либо ему нужно будет свои интересы представлять самостоятельно.