Законно ли это со стороны работодателя?

В соответствии со статьей ТК РФ Статья 84.1. Общий порядок оформления прекращения трудового договора следует что:

В день прекращения трудового договора работодатель обязан… произвести с ним расчет в соответствии со статьей 140 настоящего Кодекса.

В соответствии со статьей ТК РФ Статья 127. Реализация права на отпуск при увольнении работника следует что:

При увольнении работнику выплачивается денежная компенсация за все неиспользованные отпуска.

В соответствии со статьей ТК РФ Статья 140. Сроки расчета при увольнении следует что:

При прекращении трудового договора выплата всех сумм, причитающихся работнику от работодателя, производится в день увольнения работника.

Второй вопрос. В 2017 году устраивалась как молодой специалист. Официально до этого не работала. Завели трудовую.

Со средним.профессиональным дипломом за 2012год выпуска., но доп.выплат как молодому специалисту небыло. Законно ли это со стороны работодателя?

Здесь порядок регулируется согласно законодательству субъекта РФ.

Если в Вашем случае речь идет о Самарской области, то в соответствии с Законом Самарской области от 6 июля 2015 года N 76-ГД «О молодом специалисте в Самарской области», из которого следует что:

1. Молодые специалисты, трудоустроившиеся по профессии (специальности), включенной в перечень востребованных профессий (специальностей), имеют право на предоставление следующих мер поддержки:
ежегодная денежная выплата за каждый отработанный год (на протяжении трех лет) в размере и порядке, утверждаемых Правительством Самарской области;
http://docs.cntd.ru/document/4...

Согласно положениям Постановления Правительства Самарской области от 25 ноября 2015 года N 767 «О мерах по реализации Закона Самарской области „О молодом специалисте в Самарской области“ следует что:

1.3. Молодым специалистам, трудоустроившимся по профессии (специальности), вошедшей в перечень востребованных профессий (специальностей), предоставляются за счет средств областного бюджета следующие меры поддержки:

ежегодная денежная выплата за каждый отработанный год (на протяжении трех лет);

http://docs.cntd.ru/document/4...

Т.е. указанная выше выплата молодым специалистам, выплачивается только в отношении профессий включенных в соответствующий перечень, молодым специалистам этих профессий включенных в соответствующий реестр.

По Самарской области такой перечень утвержден согласно Распоряжению Правительства Самарской области от 28 декабря 2015 года N 1066-р „Об утверждении перечня востребованных профессий (специальностей)“ -http://docs.cntd.ru/document/4...

Вам же как педагогу дополнительного образования, если Вы работаете в г. Самаре, все доплаты установлены согласно Постановлению Администрации города от 11 сентября 2013 года N 1122 „ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ ОБ ОПЛАТЕ ТРУДА РАБОТНИКОВ МУНИЦИПАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОГО ОКРУГА САМАРА В СФЕРЕ ОБРАЗОВАНИЯ“. из которого буквально следует что:

К стимулирующим выплатам относятся:
доплата педагогическим работникам, педагогический стаж которых составляет менее двух лет, при условии выполнения нормы рабочего времени (нормы часов педагогической работы за ставку заработной платы);

http://docs.cntd.ru/document/4...

Вот эту доплату Вам были обязаны выплачивать, и если не выплачивали, Вы вправе предъявить требования о ее взыскании в судебном порядке, как составной части Вашей заработной платы.