Можно ли оформить на совершеннолетнего доверенность или какой-то документ, чтобы несовершеннолетний имел право с ним гулять по ночам?

Да, это возможно. У любого нотариуса можно оформить доверенность, позволяющую другому человеку сопровождать вашего ребенка и представлять его интересы в различных органах или организациях. Конкретные формулировки вам предложит нотариус к которому вы обратитесь, а также вы с ним обговорите объем предоставляемых полномочий.