Увольнение по "собственному желанию" и последующее увольнение из аутсорсинговой компании

Здравствуйте, Светлана!

По всей видимости с Вами был заключен срочный трудовой договор, нужно посмотреть условия договора с аутсорсинговой компанией.

ТК РФ Статья 59. Срочный трудовой договор

Срочный трудовой договор заключается: на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;
на время выполнения временных (до двух месяцев) работ;

Такой договор может прекращен по окончанию срока действия, продление законом не предусмотрено

ТК РФ Статья 79. Прекращение срочного трудового договора

Срочный трудовой договор прекращается с истечением срока его действия. О прекращении трудового договора в связи с истечением срока его действия работник должен быть предупрежден в письменной форме не менее чем за три календарных дня до увольнения, за исключением случаев, когда истекает срок действия срочного трудового договора, заключенного на время исполнения обязанностей отсутствующего работника.

Могу ли я требовать от АУТСОРСИНГОВОЙ компании выплату средней з/п в связи с сокращением? Или за этой выплатой я должна обратиться в фирму в которой работала 5 лет? Встать на учет в Центр ЗН как сокращенный работник Или просто как уволенный?

Нет не можете, срочный договор прекращен  в связи с истечением срока действия. Предыдущий работодатель не обязан ничего оплачивать, Вы уволились по собственному желанию, все причитающиеся выплаты должны были получить в день увольнения. На учетт нужно вставать, как уволенной. 

Если нужна будет дополнительная консультация или возникнет необходимость в подготовке документов, Вы можете обратиться ко мне в чате.