Может ли гражданин Казахстана выезжать в другой город РФ без постановки там на учет?

Согласно п. 1 ст. 11 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» иностранные граждане имеют право на свободу передвижения в личных или деловых целях в пределах Российской Федерации на основании документов, выданных или оформленных им в соответствии с указанным законом, за исключением посещения территорий, организаций и объектов, для въезда на которые в соответствии с федеральными законами требуется специальное разрешение. Перечень территорий, организаций и объектов, для въезда на которые иностранным гражданам требуется специальное разрешение, утверждается Правительством Российской Федерации.

Если вы зарегистрированы по месту пребывания — вы обязаны встать на учёт в течение 7 дней. Если же Вы намерены пробыть там недолг, 3-5 дней, например, на учет становиться на нужно.

Существует исключение, в случае если вы будете в гостинице. 

Федеральный закон от 18.07.2006 N 109-ФЗ (ред. от 28.11.2015) «О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации»
ст. 20 
3) в течение одного рабочего дня, следующего за днем его прибытия в место пребывания, — в случаях, предусмотренных подпунктами «а» — «д» пункта 1 и подпунктами «а» — «в» пункта 2 части 2 настоящей статьи.
а) находится в гостинице или в иной организации, оказывающей гостиничные услуги, в санатории, доме отдыха, пансионате, кемпинге, на туристской базе, в детском оздоровительном лагере, медицинской организации, оказывающей медицинскую помощь в стационарных условиях, или организации социального обслуживания;

В таком случае придётся встать на миграционный учёт в другом городе.