Сможет ли мама написать заявление об избиении сына?

Добрый день. Да, можете в силу требований ст. 64 СК РФ, даже если это дело относится к частному обвинению.

УПК РФ Статья 318. Возбуждение уголовного дела частного обвинения
 

1. Уголовные дела о преступлениях, указанных в части второй статьи 20 настоящего Кодекса, возбуждаются в отношении конкретного лица путем подачи потерпевшим или его законным представителем заявления в суд, за исключением случаев, предусмотренных пунктом 2 части первой и частью четвертой статьи 147 настоящего Кодекса.

Статья 64. Права и обязанности родителей по защите прав и интересов детей
 

1. Защита прав и интересов детей возлагается на их родителей.
Родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий.

Вы можете сообщить в полицию о избиении вашего сына так как черепно мозговая травма является либо средним либо тяжким вредом здоровья и квалифицируется по статье 111 УК РФ или по 112 УК РФ. Возбуждать дело в данном случае нужно не по заявлению потерпевшего а по факту так как данный состав относится к делам публичного обвинения. Вообще сообщить о преступлении в полицию должны были медики которые оказывали ему помощь. Но он скорее всего он убедил их в том что никакой драки не было а был простой несчастный случай.