Как после окончания срока действия миграционной карты остаться в РФ еще на месяц?

Здравствуйте, Родион.

Ни одного законного основания для нахождения Вас на территории РФ за пределами срока временного пребывания, ограниченного правилом 90/180, не усматривается.

2. Временно пребывающий в Российской Федерации иностранный гражданин обязан выехать из Российской Федерации по истечении срока действия его визы или иного срока временного пребывания, установленного настоящим Федеральным законом или международным договором Российской Федерации, за исключением случаев, когда на день истечения указанных сроков ему продлены срок действия визы или срок временного пребывания, либо ему выданы новая виза, или разрешение на временное проживание, или вид на жительство, либо у него приняты заявление и иные документы, необходимые для получения им разрешения на временное проживание в порядке, предусмотренном статьей 6.1 настоящего Федерального закона, либо у него принято заявление о выдаче уведомления о возможности приема в гражданство Российской Федерации иностранного гражданина, признанного носителем русского языка в соответствии со статьей 33.1 Федерального закона от 31 мая 2002 года N 62-ФЗ «О гражданстве Российской Федерации», или заявление о выдаче вида на жительство, либо федеральным органом исполнительной власти в сфере внутренних дел принято ходатайство работодателя или заказчика работ (услуг) о привлечении иностранного гражданина к трудовой деятельности в качестве высококвалифицированного специалиста или заявление работодателя или заказчика работ (услуг) о продлении срока действия разрешения на работу, выданного такому высококвалифицированному специалисту в соответствии со статьей 13.2 настоящего Федерального закона, либо ходатайство образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается по очной или очно-заочной форме по основной профессиональной образовательной программе, имеющей государственную аккредитацию, или ходатайство федеральной государственной образовательной организации, в которой иностранный гражданин обучается на подготовительном отделении или подготовительном факультете по дополнительной общеобразовательной программе, обеспечивающей подготовку иностранных граждан к освоению основных профессиональных образовательных программ на русском языке (далее — подготовительный факультет федеральной государственной образовательной организации), о продлении срока временного пребывания в Российской Федерации такого иностранного гражданина.
 
ст. 5, Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 27.12.2019) «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации»

Если Вы гражданин страны ЕАЭС (Беларусь, Казахстан, Армения, Киргизия), то продление срока временного пребывания возможно на основании трудового договора, заключенного с российским работодателем (в т.ч. — физическим лицом, не являющимся ИП). Если Вы гражданин другой страны, то для этого нужно получить патент (страны безвизового режима с РФ, бывш. респ. СССР, кроме Прибалтики) или разрешение на работу.