Могу ли я написать заявление в прокуратуру, не имея трудового договора?

Конечно вы можете написать заявление в прокуратуру о не выплате зарплаты, даже если у вас нет трудового договора. За это даже предусмотрена уголовная ответственность. Вы также можете взыскать зарплату и через суд.

«Уголовный кодекс Российской Федерации» от 13.06.1996 N 63-ФЗ (ред. от 27.12.2019)

 Статья 145.1. Невыплата заработной платы, пенсий, стипендий, пособий и иных выплат

1. Частичная невыплата свыше трех месяцев заработной платы, пенсий, стипендий, пособий и иных установленных законом выплат, совершенная из корыстной или иной личной заинтересованности руководителем организации, работодателем — физическим лицом, руководителем филиала, представительства или иного обособленного структурного подразделения организации, -

наказывается штрафом в размере до ста двадцати тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года, либо лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до одного года, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо лишением свободы на срок до одного года.
2. Полная невыплата свыше двух месяцев заработной платы, пенсий, стипендий, пособий и иных установленных законом выплат или выплата заработной платы свыше двух месяцев в размере ниже установленного федеральным законом минимального размера оплаты труда, совершенные из корыстной или иной личной заинтересованности руководителем организации, работодателем — физическим лицом, руководителем филиала, представительства или иного обособленного структурного подразделения организации, -

наказывается штрафом в размере от ста тысяч до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет, либо принудительными работами на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового, либо лишением свободы на срок до трех лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до трех лет или без такового.
3. Деяния, предусмотренные частями первой или второй настоящей статьи, если они повлекли тяжкие последствия, -

наказываются штрафом в размере от двухсот тысяч до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от одного года до трех лет либо лишением свободы на срок от двух до пяти лет с лишением права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью на срок до пяти лет или без такового.
Примечания. 1. Под частичной невыплатой заработной платы, пенсий, стипендий, пособий и иных установленных законом выплат в настоящей статье понимается осуществление платежа в размере менее половины подлежащей выплате суммы.
2. Лицо, впервые совершившее преступление, предусмотренное частями первой или второй настоящей статьи, освобождается от уголовной ответственности, если в течение двух месяцев со дня возбуждения уголовного дела в полном объеме погасило задолженность по выплате заработной платы, пенсии, стипендии, пособия и иной установленной законом выплате, а также уплатило проценты (выплатило денежную компенсацию) в порядке, определяемом законодательством Российской Федерации, и если в его действиях не содержится иного состава преступления.