Можно ли при получении паспорта сменить фамилию?

Нет, надо получить  паспорт на старую фамилию и затем уже заниматься сменой фамилии.

Добрый вечер, Елизавета. Да можно. Обратитесь в ЗАГС.

Здравствуйте, Елизавета. Для того чтобы сменить свою фамилию, вам необходимо обратиться лично в ЗАГС по месту жительства. Поскольку у вас нет паспорта, который является  универсальным документом, удостоверяющим личность, вам необходимо получить временное удостоверение личности гражданина РФ, для чего следует обратиться с соответствующим заявлением в подразделение по вопросам миграции территориального органа МВД России по месту жительства, месту пребывания или месту обращения для получения временного удостоверения личности гражданина РФ. С указанным удостоверением следует обратиться в ЗАГС. Ваше заявление о смене фамилии должны рассмотреть в месячный срок.

ГК РФ 

Статья 19. Имя гражданина

2. Гражданин вправе переменить свое имя в порядке, установленном законом.
Гражданин, переменивший имя, вправе требовать внесения за свой счет соответствующих изменений в документы, оформленные на его прежнее имя.

Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 01.10.2019) «Об актах гражданского состояния»

Статья 58. Перемена имени

2. Перемена имени производится органом записи актов гражданского состояния по месту жительства или по месту государственной регистрации рождения лица, желающего переменить фамилию, собственно имя и (или) отчество.

Удачи вам.