Как быть, если отказываются принимать заявление на увольнение?

В ТК РФ прямо предусмотрено несколько случаев (ст. 80), когда уволиться без отработки можно:

Во-первых, если договориться об этом с работодателем. При согласии обеих сторон можно прекратить трудовые отношения раньше. ТК РФ позволяет поступить так без каких-либо последствий.
Во-вторых, если у сотрудника нет возможности продолжать работать. Причины могут быть разными. В ТК РФ содержится их открытый список, а в качестве примера указываются только 2: поступление в учебное заведение и выход на заслуженный отдых при достижении пенсионного возраста. Еще одной причиной может быть переезд супруга по служебным обстоятельствам (постановление пленума Верховного суда РФ от 17.03.2004 № 2).
В-третьих, если работодатель нарушает нормы трудового законодательства (включая предусмотренные внутренними нормативными актами).
Отдельно в законодательстве рассматривается случай, когда работодатель задерживает выплату заработной платы своим сотрудникам более чем на 15 дней (ст. 142 ТК РФ). В такой ситуации ТК РФ дает работнику право приостановить выполнение своих должностных обязанностей. И вместе с заявлением о приостановке работы подать заявление об увольнении. Если приостановка работы будет составлять более 14 календарных дней, то отрабатывать нет необходимости, поскольку дни приостановленной работы считаются по факту отработанными.

Также можно избежать отработки, если перед увольнением уйти в отпуск или на больничный. Если отпуск длится более 2 недель, то датой увольнения будет последний день отпуска. А если сотрудник болеет дольше этого периода, то на 14-й день его обязаны уволить.

Вам необходимо выбрать более удобный для себя вариант и попытаться договориться с работодателем.

Если же работодатель отказывается принимать заявление об увольнении, Вы можете отправить его почтой (заказным с описью и уведомлением). С момента получения такого письма работодателем, начнется течение срока 14 дней.