Здравствуйте, Ксения.
Постановление Правительства РФ от 13.10.2014 N 1048 «О порядке предоставления дополнительных оплачиваемых выходных дней для ухода за детьми-инвалидами» (вместе с «Правилами предоставления дополнительных оплачиваемых выходных дней для ухода за детьми-инвалидами») не содержит указания, за сколько дней (часов) должно быть подано соответствующее заявление.
Полагаю, работодатель не вправе отказать в предоставлении таких дней, если работником предоставлены все необходимые документы и заявление и нет оснований для отказа, прямо указанных в вышеназванном нормативном акте.
Начальник отдела, скорее всего, вообще не уполномочен принимать решения за работодателя (руководителя организации) по данным вопросам, то есть его отказ вдвойне незаконный.