Здравствуйте.Вы можете подать иск, но ориентируйтесь правильно, вам не была оказана медицинская помощь учреждением, так как вы обратились в учреждение.Если вина врача будет установлена, то выплаченные вам суммы компенсации морального вреда по решению руководства учреждения могут быть взысканы уже с врача.
Начните с обращения в прокуратуру, а затем если это не поможет подавайте иск о компенсации морального вреда от имени лица, чьи интересы были нарушены, может также подать представитель истца по доверенгности
Статья 208.ГК РФ Требования, на которые исковая давность не распространяется
Исковая давность не распространяется на:
требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;
требования вкладчиков к банку о выдаче вкладов;
требования о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина. Однако требования, предъявленные по истечении трех лет с момента возникновения права на возмещение такого вреда, удовлетворяются за прошлое время не более чем за три года, предшествовавшие предъявлению иска,
В дополнение по теме вопроса статья по ссылке