Здравствуйте, Наталья. Согласно п.90 Приказ МВД России от 31.12.2017 N 984
«Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»
90. Основанием для начала административной процедуры является подача лично заявителем заявления о регистрации, снятии с регистрационного учета и прилагаемых документов, необходимых для предоставления государственной услуги, оформленных надлежащим образом:
В связи с этим, возможность снятия с регистрации по доверенности отсутсвует. Однако, поскольку вы уехали на ПМЖ значит вы должны поставится на учет в том городе. В связи с этим, вы можете «прописаться» и «выписаться» сразу за один раз по месту новой регистрации.