Здравствуйте!
Самый эффективный способ — обращение в суд и только в суд. Вам необходимо заявление об установлении факта, имеющего юридическое значения в порядке особо производства, предусмотренного ГПК РФ и доказать, что Вы имели трудовые отношения с организацией, где получили травму (для этого потребуются показания свидетелей, камеры записей видеонаблюдения (если есть), данные с пропускной системы, какие-либо табели и журналы, где отражено, что вы ходили на работу). После этого нужно подать исковое заявление о возмещении вреда здоровью в порядке искового производства. Также можно не разбивать действия на два этапа, а сразу подать исковое заявление о возмещении вреда и в рамках него доказывать фактические трудовые отношения.
Параллельно с подачей искового заявления, обратитесь в инспекцию по труду и в прокуратуру. Те сведения, которые они соберут в рамках проверки, также можно будет представить в суд в качестве доказательств.
Без хорошего адвоката Вам не обойтись, имейте это ввиду. Всего доброго и удачи в Вашем деле.