Могу ли я не отдавать свою трудовую книжку?

Здравствуйте. А трудовой договор или иной документ о том, что вообще Вы там были имеется? В силу ст. 71 ТК РФ

Если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня.

Если Вы там вообще нигде не числитесь, то в принципе трудовую Вы отдавать не обязаны для внесения записи.

Александра, добрый день!

Если с Вами в первый рабочий день не оформили трудовой договор, то приносить трудовую книжку для проставления туда записи о трудовой деятельности не имеет смысла. Заключение трудового договора это Ваше право, а не обязанность.

Согласно ст. 67 ТК РФ 

Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.