Я прописан в квартире отца, и имею 1/3 по завещанию.также мой близкий родственник имеет 1/3 с приватизации ранее

Здравствуйте. Вопрос не простой. Есть много нюансов. 

Формально, согласно  п. 2 ст. 292 ГК РФ 

Переход права собственности на жилой дом или квартиру к другому лицу является основанием для прекращения права пользования жилым помещением членами семьи прежнего собственника, если иное не установлено законом.

То есть в Вашем случае сменился собственник доли в праве собственности, а значит член семьи Вашего отца (мачеха) утрачивает право пользования квартирой.

Но. Неясна судьба третьей доли. 1/3 Ваша по завещанию, 1/3 Вашего родственника, а еще 1/3?

Кроме того, если мачеха являлась женой Вашего отца и на момент открытия наследства (смерти отца) была нетрудоспособной то она является обязательным наследником, а значит наследует независимо от содержания завещания. А наличие у нее доли в праве собственности на квартиру, дает ей право проживать в ней. 

Со дня смерти отца прошло 2 месяца. Я прописан в квартире отца, и имею 1/3 по завещанию.также мой близкий родственник имеет 1/3 с приватизации ранее.

Игорь

1/3 по завещанию ваша, 1/3 — родственника, а оставшаяся 1/3 кому принадлежит?

К тому же хотя у вас и возникло право собственности в связи с принятием наследства, если вы подали заявление нотариусу, то выселять вы ее можете, на мой взгляд, только по истечении 6 месяцев после смерти отца. На сегодняшний день, если ей 55 лет, то у нее есть право на обязательную долю несмотря на завещание и в этом случае вы ее выселить уже не сможете, только если выкупите ее долю

ГК РФ Статья 1149. Право на обязательную долю в наследстве
 

КонсультантПлюс: примечание.
Правила о наследовании нетрудоспособными лицами, установленные п. 1 ст. 1149, применяются также к женщинам, достигшим 55 лет, и мужчинам, достигшим 60 лет (ФЗ от 26.11.2001 N 147-ФЗ).

1. Несовершеннолетние или нетрудоспособные дети наследодателя, его нетрудоспособные супруг и родители, а также нетрудоспособные иждивенцы наследодателя, подлежащие призванию к наследованию на основании пунктов 1 и 2 статьи 1148 настоящего Кодекса, наследуют независимо от содержания завещания не менее половины доли, которая причиталась бы каждому из них при наследовании по закону (обязательная доля), если иное не предусмотрено настоящей статьей.

Здравствуйте!

Согласно 1154 ГКРФ

1. Наследство может быть принято в течение шести месяцев со дня открытия наследства.

Статья 73 «Основы законодательства Российской Федерации о нотариате» также устанавливает, что

Нотариус при выдаче свидетельства о праве на наследство по завещанию путем истребования соответствующих доказательств проверяет факт смерти наследодателя, наличие завещания, время и место открытия наследства, состав и место нахождения наследственного имущества.
Нотариус выясняет также круг лиц, имеющих право на обязательную долю в наследстве.

После выдачи свидетельства нотариус обязан незамедлительно, но не позднее окончания рабочего дня представить в электронной форме заявление о государственной регистрации прав и прилагаемые к нему документы в орган регистрации прав.

Таким образом, если после смерти отца (а именно момент смерти является моментом открытия наследства) не прошло 6 месяцев, то нотариус не мог выдать Вам свидетельство о праве на наследство по завещанию, и право собственности у Вас не зарегистрировано.

Однако, даже в случае выдачи свидетельства по истечении 6 месяцев, и регистрации права собственности на 1/3 доли в праве собственности на квартиру, необходимо определить:

1. Являлась ли мачеха законной супругой умершего,

2.Была ли она нетрудоспособной на момент его смерти (пенсионного возраста либо инвалид, то есть иждивенец).Если эти условия имели место, то мачеха имеет право на обязательную долю в наследстве отца, и, соответственно, выписать ее нельзя, поскольку ей будет принадлежать доля в праве собственности согласно ст. 1149 ГКРФ.

Если же мачеха не будет иметь право собственности на долю в праве собственности на квартиру, то после регистрации права собственности на Вашу долю Вы вправе подать в суд иск о ее выселении, поскольку собственник вправе требовать устранения любых нарушений своего права согласно ст. 304 ГКРФ, и требовать выселения  члена семьи бывшего собственника согласно ст 35 ЖКРФ