Из-за ошибки отдела кадров в датах отпуска я не получил зарплату за отработанные дни

По Трудовому кодексу работодатель обязан был вас письменно уведомить об отпуске (ст.123 ТК РФ). Он это не сделал, тем самым нарушил закон.

Требование сотрудника отдела кадров переписать ваше заявление также незаконно. «Задним числом» документы не оформляются. Это есть на практике, но это незаконно. 

Возьмите в отделе кадров копию вашего трудового договора, приказа о назначении на должность, копию трудовой книжки, копию приказа об отпуске и копии ваших заявлений. Попросите, чтобы они их заверили своей подписью. Копии документов вам обязаны выдать в соответствии со ст. 62 ТК РФ. Обычно, на практике, когда работник требует такой пакет документов, кадровая служба понимает, что он собирается жаловаться в трудовую инспекцию, и быстро урегулирует вопрос. 

Если отдел кадров не пойдет вам на встречу, вы можете написать жалобу в ГИТ (государственная трудовая инспекция). После этого вашу организацию проверят и выставят им штрафы. За что зацепиться, уж поверьте, найдут. Я за 20 лет своей юридической практики не встречал такую компанию, у которой бы не было нарушений закона. 

Трудовой кодекс Российской Федерации от 30 декабря 2001 г. N 197-ФЗ

Статья 62. Выдача документов, связанных с работой, и их копий

По письменному заявлению работника работодатель обязан не позднее трех рабочих дней со дня подачи этого заявления выдать работнику трудовую книжку в целях его обязательного социального страхования (обеспечения), копии документов, связанных с работой (копии приказа о приеме на работу, приказов о переводах на другую работу, приказа об увольнении с работы; выписки из трудовой книжки; справки о заработной плате, о начисленных и фактически уплаченных страховых взносах на обязательное пенсионное страхование, о периоде работы у данного работодателя и другое). Копии документов, связанных с работой, должны быть заверены надлежащим образом и предоставляться работнику безвозмездно.