Что мне в такой ситуации может грозить и последствия?

Добрый день! 

Условно говоря в соответсвии интересов из каждой из сторон Мать-Ребенок-Отец, то тут нужно изходить обще принятых правил предусмотренные ст 152 ГК На что сослался бывший ваш супруг.

ч.2 ГК РФ, ч.3 ГК РФ, ч.4 ГК РФ

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)» от 30.11.1994 N 51-ФЗ (ред. от 18.07.2019)ГК РФ Статья 152. Защита чести, достоинства и деловой репутации

(в ред. Федерального закона от 02.07.2013 N 142-ФЗ)

Учитывая что интерес затрагиваеться третьей стороной в ваших гражданско-провавых отношений, выразившиееся в осуществлении супругом выполнять семейные обязанности.

«Семейный кодекс Российской Федерации» от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 29.05.2019)СК РФ Статья 7. Осуществление семейных прав и исполнение семейных обязанностей
 1. Граждане по своему усмотрению распоряжаются принадлежащими им правами, вытекающими из семейных отношений (семейными правами), в том числе правом на защиту этих прав, если иное не установлено настоящим Кодексом.

Осуществление членами семьи своих прав и исполнение ими своих обязанностей не должны нарушать права, свободы и законные интересы других членов семьи и иных граждан.
2. Семейные права охраняются законом, за исключением случаев, если они осуществляются в противоречии с назначением этих прав.

Учитывая о том что брак прекращен в соответствии ст 24 СК порешению суда определены обязанности в обеспечении прав третьей стороны т.е. Ребенок (Алименты)

В силу ст. 38 Конституции РФ 

Статьи 38 Конституции РФ гласит: 1. Материнство и детство, семья находятся под защитой государства. 2. Забота о детях, их воспитание — равное право и обязанность родителей. 3. Трудоспособные дети, достигшие 18 лет, должны заботиться о нетрудоспособных родителях.Источник: http://constitutionrf.ru/rzd-1/gl-2/st-38-krf

«Семейный кодекс Российской Федерации» от 29.12.1995 N 223-ФЗ (ред. от 29.05.2019)СК РФ Статья 24. Вопросы, разрешаемые судом при вынесении решения о расторжении брака
 

1. При расторжении брака в судебном порядке супруги могут представить на рассмотрение суда соглашение о том, с кем из них будут проживать несовершеннолетние дети, о порядке выплаты средств на содержание детей и (или) нетрудоспособного нуждающегося супруга, о размерах этих средств либо о разделе общего имущества супругов.
2. В случае, если отсутствует соглашение между супругами по вопросам, указанным в пункте 1 настоящей статьи, а также в случае, если установлено, что данное соглашение нарушает интересы детей или одного из супругов, суд обязан:
определить, с кем из родителей будут проживать несовершеннолетние дети после развода;
определить, с кого из родителей и в каких размерах взыскиваются алименты на их детей;
по требованию супругов (одного из них) произвести раздел имущества, находящегося в их совместной собственности;
по требованию супруга, имеющего право на получение содержания от другого супруга, определить размер этого содержания.
3. В случае, если раздел имущества затрагивает интересы третьих лиц, суд вправе выделить требование о разделе имущества в отдельное

Из ходя из изложенного выше, что права бывшего супруга были нарушены данной публикацией, его право доказать нарушение этих прав и в чем выразилось, учесть конечно необходимо выплачиваються алименты, или публикация соответсвует действительности, если же все таки задета его достоинство и деловая репутация, то опять его право это доказать законным способом и каков ущер причинен его достоинству и репутации, при условии того что алименты не выплачиваються.

В конце концов данная информация если истец докажет вред причиненный от публикации в сети интернет, подлежит удалению из интернета стороной по делу в качестве ответчика.