Здравствуйте, Юлия.
Краткий ответ: нет, пересдать четвертную оценку для улучшения результата и сохранения права на медаль ребенок не имеет права.
Действительно, как верно отметил коллега, Федеральный закон «Об образовании в РФ» (ст. 58) предусматривает возможность пересдачи (ликвидации академической задолженности) только при получении неудовлетворительной оценки («2»). Для положительных оценок («3», «4») пересдача законом не предусмотрена.
Школа может своим локальным актом установить порядок промежуточной аттестации, но такой акт не может противоречить федеральному закону. Поэтому попытка «исправить» четвёрку на пятёрку ради медали будет незаконной.
Медаль «За особые успехи в учении» II степени (с двумя четвёрками) присуждается по итоговым годовым оценкам за 10 и 11 классы. Если при подсчёте выявилась третья четвёрка — право на медаль утрачивается. Единственный законный путь — изначально получить за год не более двух четвёрок.
Если у вас есть основания полагать, что оценка выставлена с ошибкой или необъективно, можно оспорить её через комиссию по урегулированию споров, но это не «пересдача», а проверка обоснованности выставления. Однако в описанной вами ситуации («выявлена еще одна четвёрка») речь, скорее всего, о верном подсчёте.
В дополнение.
Образовательная организация самостоятельно определяет порядок проведения промежуточной аттестации. Однако ни один локальный акт не может противоречить федеральному законодательству, которое не дает права на «исправление» оценок ради получения наград.
Решение о допуске к итоговой аттестации и, соответственно, о соответствии критериям для получения медали, принимается на основе итоговых (годовых) отметок.
Если по итогам обучения в 10 и 11 классах количество оценок «хорошо» превышает допустимое для медали II степени, право на получение медали утрачивается.
Таким образом, пересдача четвертной оценки для изменения статуса кандидата на получение медали не является законным основанием.