Я бы хотел узнать, на основании каких сведений выстраивается защита в суде интересов заявителя, в случае

Здравствуйте!

Согласно статье 55 ГПК РФ

1. Доказательствами по делу являются полученные в предусмотренном законом порядке сведения о фактах, на основе которых суд устанавливает наличие или отсутствие обстоятельств, обосновывающих требования и возражения сторон, а также иных обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения дела.
Эти сведения могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей, письменных и вещественных доказательств, аудио- и видеозаписей, заключений экспертов.
Объяснения сторон и третьих лиц, показания свидетелей могут быть получены путем использования систем видеоконференц-связи в порядке, установленном статьей 155.1 настоящего Кодекса.

Таким образом, доказательства при рассмотрении указанного вопроса могут не только документы, которые прямо устанавливают факт проживания родственников на территории Российской Империи, но и косвенные письменные доказательства — письма, переписки, коммерческие  документы того времени, фотографии, позволяющие установить место, документы на недвижимость и т.д.

Также в качестве доказательств в суде могут быть использованы показания свидетелей, при том не обязательно свидетелей — очевидцев (да это и вряд ли возможно), учитывая временной промежуток, а свидетели, которые, возможно, со слов третьих лиц знают о проживании родственников на территории Российской Империи.

Кроме того, возможно, что в отдельных регионах могли сохраниться такие документы, учитывая что всероссийская перепись населения проводилась в 1897 году.

Вы вправе заявить в суде ходатайство об истребовании в архиве субъекта РФ либо в архиве РФ определенных сведений (о рождении, о бракосочетании родственников и тд)

В любом случае, в силу ст 56 ГПК РФ обязанность доказывания ложится на заявителя, однако, указанный Вами факт можно установить не только письменными доказательствами, но и показаниями свидетелей.