Может ли клиника узнать личность подавшего жалобу?

Здравствуйте Олеся. 

Да по требованию они обязаны сослаться на основание для проведения проверки, т.е. поступившее к ним обращение. 

Согласно Приказу Минздрава РФ

от 26 января 2015 года N 19н

     Об утверждении Административного регламента Федеральной службы по надзору в сфере здравоохранения по исполнению государственной функции по осуществлению государственного контроля качества и безопасности медицинской деятельности путем проведения проверок соблюдения органами государственной власти и органами местного самоуправления, государственными внебюджетными фондами, а также осуществляющими медицинскую и фармацевтическую деятельность организациями и индивидуальными предпринимателями прав граждан в сфере охраны здоровья

Административный регламент Федеральной службы по надзору в сфере здравоохранения по исполнению государственной функции по осуществлению государственного контроля качества и безопасности медицинской деятельности путем проведения проверок соблюдения органами государственной власти и органами местного самоуправления, государственными внебюджетными фондами, а также осуществляющими медицинскую и фармацевтическую деятельность организациями и индивидуальными предпринимателями прав граждан в сфере охраны здоровья

7. Должностные лица Росздравнадзора (территориальных органов) при осуществлении государственного контроля обязаны:

6) предоставлять руководителю, иному должностному лицу или уполномоченному представителю проверяемого лица, присутствующим при проведении проверки, информацию и документы, относящиеся к предмету проверки;

http://docs.cntd.ru/document/4...