Добрый день, Елена.
Согласно российскому законодательству, нужно регистрироваться на месте проживания, даже если это проживание временное.
То есть, если Ваша мама проживает у сестры, она должна заявить об этом в ближайшее отделение миграционной службы. У Вас, наверняка, есть документы, позволяющие проживать в Италии, резиденца, например, которая является Вашим подтверждением не проживания в данной квартире. Это на случай, если бы Вы доказывали, что долги заработали не Вы.
По поводу отключения от коммунальных услуг. Некоторые услуги можно отключить скопом в ЖЕКе или другой управляющей компании, по некоторым нужно обращаться непосредственно в компанию поставщика (так бывает, например, с газом или интернетом). Как собственник Вы это сделать можете, в том числе и по доверенности, но скорее всего, прежде Вам все-таки придется оплатить задолженности.
Для более конкретной консультации и/или помощи в составлении документов Вы можете обратиться ко мне в личный чат.