Что делать, если военнослужащему не предоставляют больничный по уходу за больным ребенком?

Дмитрий здравствуйте! Уточните пожалуйста, где мама ребенка?

Согласно ч. 2. ст. 59 Конституции РФ гражданин Российской Федерации несет военную службу в соответствии с федеральным законом.
Согласно п. 2 ст. 1 Федерального закона 1998 г. №76-Ф3 «О статусе военнослужащих» (далее Федеральный закон) военнослужащие обладают правами и свободами человека и гражданина с некоторыми ограничениями, установленными указанным федеральным законом, федеральными конституционными законами и федеральными законами. Так, согласно п. 9 ст. 10 Федерального закона военнослужащие, воспитывающие детей без матери, пользуются социальными гарантиями и компенсациями в соответствии с федеральными законами и иными нормативными правовыми актами об охране семьи, материнства и детства.
Таким образом, п. 9 ст. 10 Федерального закона ограничивает предоставление социальных гарантий и компенсаций, касающихся вопросов об охране семьи, материнства и детства.
В соответствии с указанной нормой военнослужащие мужского пола могут пользоваться вышеуказанными социальными гарантиями, при условии, что он воспитывает ребенка без матери.
Поскольку вопрос о предоставлении социальных гарантий и компенсаций отцам — военнослужащих определен положением специального нормативного акта, изложенным в Федеральном законе, то нормы федеральных законов и иных нормативных правовых актов об охране семьи, материнства и детства применению к ним не подлежат. 
Изложенное выше соответствует и Конституции Российской Федерации. предусматривающей возможность ограничения прав граждан в целях обеспечения обороны страны и безопасности государства (ч. З ст. 55)
Это исходит из того, что, заключая контракт о прохождении военной службы, гражданин соглашается с теми ограничениями, которые накалываются действующим законодательством на военнослужащих в связи с особым характером возлагаемых на них обязанностей.

Такую же трактовку применяет Конституционный суд РФ, только про отпуск. Суть та же.

КОНСТИТУЦИОННЫЙ СУД РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ от 15 января 2009 г. N 187-О-О

Поскольку военная служба в силу предъявляемых к ней специфических требований исключает возможность массового неисполнения военнослужащими своих служебных обязанностей без ущерба для охраняемых законом публичных интересов, отсутствие у военнослужащих мужского пола, проходящих службу по контракту, права на отпуск по уходу за ребенком не может рассматриваться как нарушение их конституционных прав и свобод, в том числе гарантированного статьей 38 (часть 2) Конституции Российской Федерации права на заботу о детях и их воспитание. Кроме того, данное ограничение согласуется с добровольным характером заключения контракта о прохождении военной службы.