Здравствуйте, Ирина!
Безусловно папа может уйти на больничный в Вашей ситуации.
Во-первых, по общему правилу на больничный с ребенком до 14 лет может пойти один из родителей. и не обязательно для этого должна быть именно мама, в законе нет такого указания.
Во-вторых, зная практические сложности при уходе пап на больничные, рекомендую взять справку, о том что Вы находитесь в роддоме. Но это исключительно для успокоения работодателя, и чтобы отбросить лишние сомнения и подозрения. Я думаю, что такую справку Вам будет взять несложно.
Всего хорошего!