Отец-иностранец живёт в другой стране, может ли мать и ребенок прописаться без его разрешения?

Уважаемая Анна! Согласно Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и...

18. Органы регистрационного учета в 3-дневный срок со дня поступления документов, за исключением случая, предусмотренного абзацем седьмым пункта 16 настоящих Правил, регистрируют граждан по месту жительства и выдают гражданину или лицу, ответственному за прием и передачу в орган регистрационного учета документов, от которых поступили документы, паспорт гражданина с отметкой о регистрации по месту жительства или свидетельство о регистрации по месту жительства лица, не достигшего 14-летнего возраста.
В случае поступления документов в порядке, предусмотренном абзацем восьмым пункта 16 настоящих Правил, отметка в паспорте гражданина либо выдача свидетельства о регистрации по месту жительства лица, не достигшего 14-летнего возраста, производится в день поступления в орган регистрационного учета документа, удостоверяющего личность, и документа, являющегося основанием для вселения в жилое помещение.

В настоящее время в соответствии с положениями указанных правил снятие с регистрационного учета необязательно, достаточно новой регистрации, на основании которой будет проведено снятие с регистрационного учета.

По ст. 20 ГК РФ 

2. Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Отказать в регистрации без согласия отца, который проживает заграницей, не имеют права. Подавайте документы на регистрацию по второму месту жительства в МФЦ, а в случае отказа — обжалуйте отказ в суд.