Каким документом должны подтверждаться полномочия на производство следственного действия?

Здравствуйте, Алена.  
Действия следователя неправомерны. Как минимум следователь должен был дать отдельное поручение, в котором должен был указать про проведение следственных действий в квартире подозреваемого. И конечно это надо было оформлять не осмотром, а проведением обыска (обратите внимание на ст. 12 и  75 УПК РФ). 

Статья 75. Недопустимые доказательства
1. Доказательства, полученные с нарушением требований настоящего Кодекса, являются недопустимыми. Недопустимые доказательства не имеют юридической силы и не могут быть положены в основу обвинения, а также использоваться для доказывания любого из обстоятельств, предусмотренных статьей 73 настоящего Кодекса.
2. К недопустимым доказательствам относятся:
1) показания подозреваемого, обвиняемого, данные в ходе досудебного производства по уголовному делу в отсутствие защитника, включая случаи отказа от защитника, и не подтвержденные подозреваемым, обвиняемым в суде;
2) показания потерпевшего, свидетеля, основанные на догадке, предположении, слухе, а также показания свидетеля, который не может указать источник своей осведомленности;
2.1) предметы, документы или сведения, входящие в производство адвоката по делам его доверителей, полученные в ходе оперативно-розыскных мероприятий или следственных действий, за исключением предметов и документов, указанных в части первой статьи 81 настоящего Кодекса;
(п. 2.1 введен Федеральным законом от 17.04.2017 N 73-ФЗ)
3) иные доказательства, полученные с нарушением требований настоящего Кодекса.

Здравствуйте Алена! Полномочия Сарова подтверждаются в соответствии со ст. 152 УПК РФ отдельным поручением следователя. Ст. 152 УПК РФ 1. Предварительное расследование производится по месту совершения деяния, содержащего признаки преступления, за исключением случаев, предусмотренных настоящей статьей. В случае необходимости производства следственных или розыскных действий в другом месте следователь вправе произвести их лично либо поручить производство этих действий следователю или органу дознания, дознаватель вправе произвести их лично либо поручить производство этих действий дознавателю или органу дознания. Поручения должны быть исполнены в срок не позднее 10 суток.