Здравствуйте, Алексей! Практика здесь простая. Если истекают сроки, нужно подать исковое заявление. При этом у Вас есть право в этом же заявлении в просительной части обратиться к суду с ходатайством в порядке ст. 57 ГПК РФ об истребовании доказательств. Если суд оставит Ваше заяление без движения для устранения недостатков по причине недостаточности доказательств (чего по закону быть не должно, поскольку Вы вправе предоставлять доказательства по ходу процесса), у Вас будет право либо обжаловать такое определение, либо в срок, установленный судом. устранить недостатаки и представить недостающие доказательства.
Согласно ст. 136 ГПК РФ:
2. В случае, если заявитель в установленный срок выполнит указания судьи, перечисленные в определении, заявление считается поданным в день первоначального представления его в суд.