Добрый день, Наталья.
Конечно Ваш сын может уволиться и уехать домой.
ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
Конечно, если заключен обычный трудовой договор, то отработать придется две недели (таков закон).
Можно конечно и до истечения срока двух недель уволиться по соглашению сторон, если удастся договориться с работодателем.
Ну еще как вариант это когда увольнении по его инициативе обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника. Если такие основания есть, то можно уволиться сразу.
Но в любом случае удерживать Ваше сына не могут. Крепостное право давно отменено.
Большое спасибо за ответ!