Добрый день!
В соответствии с п. 45 Порядка и условий назначения и выплаты государственных пособий гражданам, имеющим детей (утв. приказом Министерства здравоохранения и социального развития РФ от 23 декабря 2009 г. N 1012н). Ежемесячное пособие по уходу за ребенком назначается и выплачивается по месту работы (службы).
Неработающие лица, не подлежащие обязательному социальному страхованию, получают пособие в органах социальной защиты по месту жительства.
К сожалению, после увольнения по срочному трудовому договору трудовые правоотношения с работодателем у Вас прекратятся и вы будете не вправе получать пособие по месту работы ввиду отсутствия правовых оснований.
куда обращаться? и изменится ли размер выплаты?
Это зависит от региона проживания, в Москве, например, такие выплаты назначаются территориальными подразделениями Департамента труда и социальной защиты населения города Москвы при обращении туда через Многофункциональные центры государственных услуг. Минимальный размер ежемесячной выплаты в 2018 году составляет 3 142,33 руб. (для второго и последующих детей — 6 284,65 руб.).