Здравствуйте, Ибрагим!
По смыслу жилищного законодательства именно собственник жилого помещения несет бремя его содержания и оплаты коммунальных платежей.
ЖК РФ Статья 153. Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги
2. Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у:
5) собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение с учетом правила, установленного частью 3 статьи 169 настоящего Кодекса;
В этой же статье есть обязанность по оплате арендаторами, но возникает она по умолчанию именно у арендаторов жилья государственного и муниципального фонда
2) арендатора жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения соответствующего договора аренды;
Следовательно Вы, при аренде квартиры у частного лица такую обязанность не несете.
При этом, важно знать, что указанно у Вас в договоре аренды. Прописано ли распределение обязанностей по внесению коммунальных платежей между арендодателем и арендатором?