Имею ли я право пройти транзитом по территории школы с собакой?

Да имеете, транзит, выгулом не является, тем более есть поводок и намордник.

 Согласно закону г. Москвы от 21 ноября 2007 г. N 45 «Кодекс города Москвы об административных правонарушениях» 

Статья 5.1. Нарушение правил содержания домашних животных

1. Содержание домашних животных в местах общего пользования коммунальных квартир и многоквартирных домов —

влечет предупреждение или наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до двух тысяч рублей.

2. Допущение загрязнения домашними животными мест общего пользования в многоквартирных домах, а также общественных мест —

влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до двух тысяч рублей; на должностных лиц — от двух тысяч до трех тысяч рублей.

3. Нарушение установленных правовыми актами города Москвы правил выгула собак, в том числе появление с собакой без поводка и намордника в магазинах, учреждениях, на детских площадках, рынках, пляжах и в транспорте, а также выгул собак на территориях учреждений здравоохранения, детских садов, школ, иных образовательных учреждений и учреждений, работающих с несовершеннолетними, -

влечет наложение административного штрафа на граждан или должностных лиц в размере от одной тысячи до двух тысяч рублей.

Законодательством такого рода запрет неустановлен,  однако такой запрет может быть предуссмотрен  правилами внутреннего распорядка школы. Если территория школы  охраняется и при этом охранник против вашего транзита с собакой по школе рекомендую не спорить и обойти территорию  школы