Как узнать ход проверки по заявлению в данной ситуации?

Юлия, откуда вы знаете, что бывший муж писал на вас заявление? С его слов? Возможно, что он просто вас обманул, т.к. и вас, и вашего сожителя должны были опросить при проведении проверки. В любом случае, о результатах проведения проверки прокуратура уведомляет инициатора, т.е. заявителя. Если вам так принципиально важен результат проверки, то необходимо обратиться в прокуратуру с письменным заявлением, в котором указать, когда, и по чьему именно заявлению (обращению), и по какому факту проводилась проверка. 

Юлия, здравствуйте.

По его заявлению не меня, не гражданского супруга в органы внутренних дел не вызывали и не допрашивали

Если не вызывали, значит не возникло у следователя необходимости в проведении опроса. Если Вас до сих пор не привлекли к ответственности, то в возбуждении уголовного дела по его заявлению было отказано. 

Как получить ответ?

Если Вам для чего-то понадобилось само постановление об отказе в ВУД, можете попробовать его запросить в отделе полиции, сотрудники которого рассматривали это заявление, но предоставлять Вам его никто не обязан, так как копия постановления направляется только заявителю. 

Есть копия заявления

Зарегистрированное, с присвоенным номером КУСП и т.п. реквизитами? 

При желании можете сами написать на него заявление о привлечении к уголовной ответственности за заведомо ложный донос, но смысла в этом, на мой взгляд, нет, так как этот вопрос рассматривается в ходе проверки по заявлению.