Увольнение работающего на неполном рабочем дне, мать- одиночка, многодетная

Хотят предложить по соглашению сторон, 

Поэтому от такого предложения откажитесь, иначе это будет являться Вашим желанием на увольнение.

а работодателю поясните, что обратитесь в суд если она Вас уволит по сокращению.

Только Вам нужно предварительно подать на имя руководителя заявление, в котормо указать, что Вы относитесь к категории указанной в статье 261 Трудового кодекса РФ, приложить к заявлению справку о составе семьи и копию свидетельства о рождении ребенка, св-во о расторжении брака если в отцом ребенка брак был расторгнут.

Заявление подаете в двух экз. на одно с отметкой о принятии оставляете у себя.

Кроме того как установлено абз. 1 ч. 1 ст. 59 ТК РФ

Срочный трудовой договор заключается:
на время исполнения обязанностей отсутствующего работника, за которым в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохраняется место работы;

Следовательно, с работником, которого взяли на Ваше место работы, должен был быть заключен срочный трудовой договор, который прекращается с выходом Вас на работу. Очевидно, что работодатель нарушил требования ТК РФ, он не вправе был оставлять работника на Вашей должности, а Вас устраивать на другое рабочее место. Это еще одно основание для обращения с жалобой на работодателя в ГИТ, а также в суд с требованием восстановиться в прежней должности. 

Если работодатель все-таки Вас уволит, Вы вправе обратиться с иском в суд. Вместе с восстановлением Вас на работе суд присудит Вам не полученный Вами заработок в результате незаконного увольнения и вправе взыскать с работодателя в Вашу пользу моральный ущерб при предъявлении такого требования.

Согласно ст. 234 ТК РФ

Работодатель обязан возместить работнику не полученный им заработок во всех случаях незаконного лишения его возможности трудиться. Такая обязанность, в частности, наступает, если заработок не получен в результате:
незаконного отстранения работника от работы, его увольнения или перевода на другую работу;

В соответствии с ч. 1 ст. 237 ТК РФ

Моральный вред, причиненный работнику неправомерными действиями или бездействием работодателя, возмещается работнику в денежной форме в размерах, определяемых соглашением сторон трудового договора.