Какой нужен договор при выполнении услуги за счет клиента?

Добрый день, Алексей. Я так полагаю, что Вам необходим агентский договор. В соответствии со статьей 1005 Гражданского кодекса Российской Федерации:

1. По агентскому договору одна сторона (агент) обязуется за вознаграждение совершать по поручению другой стороны (принципала) юридические и иные действия от своего имени, но за счет принципала либо от имени и за счет принципала.

Если правильно понимаю, наибольшим образом подходит.

В вашем случае подойдет агентский договор

Ст. 1005 ГК РФ

1. По агентскому договору одна сторона (агент) обязуется за вознаграждение совершать по поручению другой стороны (принципала) юридические и иные действия от своего имени, но за счет принципала либо от имени и за счет принципала.
По сделке, совершенной агентом с третьим лицом от своего имени и за счет принципала, приобретает права и становится обязанным агент, хотя бы принципал и был назван в сделке или вступил с третьим лицом в непосредственные отношения по исполнению сделки.
По сделке, совершенной агентом с третьим лицом от имени и за счет принципала, права и обязанности возникают непосредственно у принципала.
2. В случаях, когда в агентском договоре, заключенном в письменной форме, предусмотрены общие полномочия агента на совершение сделок от имени принципала, последний в отношениях с третьими лицами не вправе ссылаться на отсутствие у агента надлежащих полномочий, если не докажет, что третье лицо знало или должно было знать об ограничении полномочий агента.
3. Агентский договор может быть заключен на определенный срок или без указания срока его действия.
4. Законом могут быть предусмотрены особенности отдельных видов агентского договора.