Заводить новую трудовую не нужно. Кроме того запись в трудовую в отношении внешнего совместителя осуществляется с согласия работника.
В соответствии со ст. 283 Трудового кодекса РФ при приеме на работу по совместительству к другому работодателю работник обязан предъявить паспорт или иной документ, удостоверяющий личность. При приеме на работу по совместительству, требующую специальных знаний, работодатель имеет право потребовать от работника предъявления документа об образовании и (или) о квалификации либо его надлежаще заверенной копии, а при приеме на работу с вредными и (или) опасными условиями труда — справку о характере и условиях труда по основному месту работы.
Запрещается требовать от лица, поступающего на работу, документы помимо предусмотренных ТК РФ, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации (ч. 3 ст. 65 ТК РФ).
Таким образом, требования работодателя (магазина) о предоставлении трудовой книжки работником внешним соместителем необосновано и не законно.