Как мне законным способом отказаться от своей доли?

Исходя из вашей информации, бывший супруг является полноправным собственником 1\4 доли в праве собственности, и тут уже поделать ничего невозможно, так в соответствии со ст.209 ГК РФ

Статья 209. Содержание права собственности
 1. Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.

2. Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.

Поэтому, он имеет право продать свою долю, любому лицу, но с учётом ст.250 ГК РФ, так как вы имеете право преимущественной покупки и он должен прежде всего письменно предложить вам выкупить эту долю, и если в течение месяца вы эту долю не выкупите, то тогда он уже будет вправе продать её любому постороннему лицу

Здравствуйте Людмила!

Вы пишите: 

Как мне быть в этой ситуации, ничего не выплачивая, он получил половину мебели и еще хочет чтобы я выкупила у него долю, у меня нет таких денег

Ваш бывший муж воспользовался ст. 34 Семейного кодекса, которая определяет, что имущество, приобретенное в браке является совместной собственностью супругов, в связи с чем он и требует компенсации своей доли.

В Вашем случае спор может быть разрешен только в судебном порядке.

А как так Вы имущество поделили, а долги нет? Вы не заявляли что ли в суде про свои кредитные обязательства? Или вообще суда по разделу имущества не было?