Доброго времени суток, Евгений!
Если квартира покупалась не в браке, то никто, кроме собственников, прав заявить на нее не может (т.е. какие-то права могут быть заявлены Вашей матерью только в отношении полагающейся ей по закону доли в наследстве).
В случае смерти ребенка, наследниками первой очереди (если не было завещания) являются родители умершего, его дети и супруг. Я так понимаю, что ни детей, ни супруги у умершего нет, потому предполагается, что единственные наследники первой очереди — отец и мать.
Тут нужно понимать следующее: срок для вступления в наследство 6 месяцев, после его истечения восстанавливается он через суд и суд признает уважительными или не уважительными причины, по которым срок пропущен.
В данной ситуации возможно три варианта:
1) мама не инициирует ничего и все остается так, как есть;
2) мама пытается восстановить пропущенный срок и ей это либо не удается (тогда дальше по п.1), либо удается и она получает свою 0,125 долю.
3) в процессе вхождения в число собственников выясняется, что Ваш отец специально скрыл от матери факт получения наследства, чтобы не делить и, в итоге, признает недостойным наследником (см. цитату статьи ниже; там же прошу обратить внимание и на ч. 2, которая тоже может ответить на некоторые Ваши вопросы) — такое КРАЙНЕ маловероятно и труднодоказуемо.
ст. 1117 ГК РФ
1. Не наследуют ни по закону, ни по завещанию граждане, которые своими умышленными противоправными действиями, направленными против наследодателя, кого-либо из его наследников или против осуществления последней воли наследодателя, выраженной в завещании, способствовали либо пытались способствовать призванию их самих или других лиц к наследованию либо способствовали или пытались способствовать увеличению причитающейся им или другим лицам доли наследства, если эти обстоятельства подтверждены в судебном порядке. Однако граждане, которым наследодатель после утраты ими права наследования завещал имущество, вправе наследовать это имущество.
Не наследуют по закону родители после детей, в отношении которых родители были в судебном порядке лишены родительских прав и не восстановлены в этих правах ко дню открытия наследства.
2. По требованию заинтересованного лица суд отстраняет от наследования по закону граждан, злостно уклонявшихся от выполнения лежавших на них в силу закона обязанностей по содержанию наследодателя.
С уважением и удачи!
Ах и да, все выше изложенное возможно только в случае, соблюдения ч. 1 ст 1155 ГК РФ (выделю жирным):
Удачи!