Законно ли владелец собаки требует возместить лечение?

Светлана, заявление владельцев собаки о том, что подали на Вас заявление — скорее попытка психологического давления на Вас. В любом случае, Вы правильно сделали, что дождались сотрудников ГИБДД, которые зафиксировали факт ДТП.

Вы ехали с ребенком от врача на своем автомобиле, при этом не нарушали ПДД и под Вашу машину бросилась чья-то, пусть и породистая собака, да еще и повредила Ваш автомобиль?

Запись видеорегистратора есть?

Нужно посмотреть аналогичные правила в Вашем регионе, в Москве есть обязанность выгуливать на поводке:
ВРЕМЕННЫЕ ПРАВИЛА СОДЕРЖАНИЯ СОБАК И КОШЕК В Г. МОСКВЕ
(в ред. постановления Правительства Москвы от 07.10.2008 N 900-ПП)

2.7. Выводить собаку на прогулку нужно на поводке с прикрепленным к ошейнику жетоном, на котором указаны кличка собаки, адрес владельца, телефон. Спускать собаку с поводка можно только в малолюдных местах. Злобным собакам при этом следует надевать намордник.

Владельцы собаки должны были следить за своей собакой, т.к. выбежавшая на дорогу собака могла спровоцировать ДТП с более серьезными последствиями для водителей и пешеходов.

Добрый вечер! 

Из Вашего пояснения следует, что  ли Вы остались на  месте ДТП и это правильно, так же надеюсь что по пути следования  Вы не нарушали ПДД. 

Если в результате указанного ДТП, Ваш автомобиль  получил механические повреждения, необходимо получить   справку  о ДТП, в таком случае Вам   был причинён материальный ущерб.

При взаимодействии источников повышенной опасности вред возмещается с учётом вины причинителя вреда и противоправности его действий (см. п.3 ст.1079, ст.1064 ГК РФ).

Вина причинителя вреда презюмируется, противоправность же нужно доказывать. 

В Вашей случае нужно доказывать, во-первых факт того что Вы не нарушали ПДД (например постановление о прекращении за отсутствием состава административного правонарушения, связанного с наездом на животное  на основании п.2 ч.1 ст.24.5 КоАП РФ) и во-вторых, доказать факт того, что владельцы животного  не  приняли необходимые меры, обеспечивающие безопасность окружающих людей  и т.д. 

Согласно  ст. 137 ГК РФ к животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное. Статьей 210 ГК РФ предусмотрено, что собственник несет бремя содержания принадлежащего ему имущества, если иное не установлено законом или договором.Таким образом, вред, причиненный животными имуществу или личности других лиц, подлежит возмещению собственником этих животных.

Таким образом, рекомендую Вам,   ни  в коем случае не идти на шантаж владельцев животного, дождаться постановления ГИБДД и конечно заручится  поддержкой опытного юриста.