Здравствуйте.
Ваша ситуация регулируется следующими нормами Трудового кодекса:
Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Статья 67.1. Последствия фактического допущения к работе не уполномоченным на это лицом
(введена Федеральным законом от 28.12.2013 N 421-ФЗ)
Если физическое лицо было фактически допущено к работе работником, не уполномоченным на это работодателем, и работодатель или его уполномоченный на это представитель отказывается признать отношения, возникшие между лицом, фактически допущенным к работе, и данным работодателем, трудовыми отношениями (заключить с лицом, фактически допущенным к работе, трудовой договор), работодатель, в интересах которого была выполнена работа, обязан оплатить такому физическому лицу фактически отработанное им время (выполненную работу).
Т.е. выплатить заработную плату за период вашей работы работодатель обязан. С записью в трудовой эта обязанность не связана, обязанность работодателя вести Тр. книжку предусмотрена ст. 66 ТК.
В случае судебного взыскания будет необходимо доказывать и факт работы, и размер согласованной оплаты, что в данном случае (отсутствие договора) может быть затруднительным.
Если у вас сохранилось заявление о приёме на работу с отметкой работодателя, и заявление об увольнении (таким образом зафиксирован период работы) - предлагаю обратиться к работодателю с завлением о выплате заработной платы к работодателю, приложив копии данных документов (обязательно зарегистрировав в канцелярии либо направив почтой с уведомлением).
