Могу ли я прописаться к четверым несовершеннолетним детям?

В данном случае потребуется не только согласие нанимателя квартиры, но и согласие наймодателя. Вашей бабушке нужно обратиться к собственнику квартиры и получить согласие на вселение. При этом наймодатель смотрит не уменьшится ли количество квадратных метров на одного человека.

«Жилищный кодекс Российской Федерации» от 29.12.2004 N 188-ФЗ (ред. от 04.06.2018) (с изм. и доп., вступ. в силу с 11.07.2018)Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи
 

1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя — других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.
2. Вселение в жилое помещение граждан в качестве членов семьи нанимателя влечет за собой изменение соответствующего договора социального найма жилого помещения в части необходимости указания в данном договоре нового члена семьи нанимателя.