Имеют ли право отказывать в прописке, ссылаясь на незаполненность графы?

Здравствуйте, Мария!

Вы пишете:

Мы купли долю в доме. В нотариальном договоре купли-продажи указано, что это жилой дом. Но прописаться в этом доме мы не смогли, т.к. дом не введен в эксплуатацию и данные в графе «Наименование» отсутствуют. С большой долей вероятности дом был зарегистрирован по упрощенной схеме. Тех план от апреля 2017

1) имеют ли право нотариусы участвовать в сделке по поводу якобы жилого дома? если по факту, получается что нет

Нотариус не участвует в сделке. Он может только удостоверить сделку (договор, соглашение).

2) имеет ли право застройщик продавать доли в доме как жилом, не введенном в эксплуатацию? Когда он обязан это сделать? или вводить в эксплуатацию должны новые собственники долей? чья это обязанность?

Дом в эксплуатацию должен вводить застройщик. Он же должен поставить строение на кадастровый учёт. Без сдачи дома в эксплуатацию, постановки на кадастровый учёт продажу дома или его части невозможно. После сдачи дома в эксплуатацию и постановки на кадастровый учёт возможна регистрация права собственности, а затем и продажа (при желании и необходимости участника долевого строительства). Регистрация (прописка) в доме невозможна, если он не поставлен на кадастровый учёт, и не  регистрировано право собственности в Росреестре.

3) имеют ли право отказывать в прописке, ссылаясь на незаполненность графы «Наименование» и на акт о вводе в эксплуатацию

Да, имеют и не только по этой причине. Основания отказа в регистрации я написал выше.