Могу ли я в данном случае уйти в административный отпуск?

Можете взять отпуск и больничные.

Согласно ч. 1 ст. 128 ТК РФ

по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.

Больничные должны быть подтверждены листком нетрудоспособности.

Повлияет на страховой стаж, поскольку за этот период не будут начисляться страховые взносы. А также не расчет средней заработной платы в случае необходимости, поскольку такой период работы не оплачивается. Это применимо к отпуску без сохранения зарплаты.