Могут ли меня обязать выплачивать долги, которые накопились?

Здравствуйте Григорий! 

В соответствии со ст. 153 ЖК РФ граждане и организации обязаны своевременно и полностью вносить плату за жилое помещение и коммунальные услуги. 

Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у:
1) нанимателя жилого помещения по договору социального найма с момента заключения такого договора;
1.1) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения жилищного фонда социального использования с момента заключения данного договора;
(п. 1.1 введен Федеральным законом от 21.07.2014 N 217-ФЗ)

2) арендатора жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения соответствующего договора аренды;
3) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения такого договора;
4) члена жилищного кооператива с момента предоставления жилого помещения жилищным кооперативом;
5) собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение с учетом правила, установленного частью 3 статьи 169 настоящего Кодекса;

Таким образом, Вы являетесь нанимателем муниципального жилищного фонда, как наниматель вы обязаны платить за потребленные коммунальные услуги, а также за содержание общедомового имущества в соответствии с Жилищным кодексом РФ.

Что касается старых долгов, заставить вас никто не может, только по решению суда. Важно если в течении трехгодичного срока взыскатель не обратиться в суд, то принудительное взыскание задолженности для него будет невозможно. 

Надеюсь, что мой ответ помог Вам!

Всего доброго и удачи!
С уважением, Иванов Роман!