Могут ли на меня подать в суд за задолженность по квартире?

Нет, не могут. По мимо собственников жилых помещений обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у лиц указанных в части 2 статьи 153 ЖК РФ

2. Обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у:
1) нанимателя жилого помещения по договору социального найма с момента заключения такого договора;
1.1) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения жилищного фонда социального использования с момента заключения данного договора;
(п. 1.1 введен Федеральным законом от 21.07.2014 N 217-ФЗ)
2) арендатора жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения соответствующего договора аренды;
3) нанимателя жилого помещения по договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда с момента заключения такого договора;
4) члена жилищного кооператива с момента предоставления жилого помещения жилищным кооперативом;
5) собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение с учетом правила, установленного частью 3 статьи 169 настоящего Кодекса;
(п. 5 в ред. Федерального закона от 29.06.2015 N 176-ФЗ)
6) лица, принявшего от застройщика (лица, обеспечивающего строительство многоквартирного дома) после выдачи ему разрешения на ввод многоквартирного дома в эксплуатацию помещения в данном доме по передаточному акту или иному документу о передаче, с момента такой передачи;
(п. 6 введен Федеральным законом от 04.06.2011 N 123-ФЗ)
7) застройщика (лица, обеспечивающего строительство многоквартирного дома) в отношении помещений в данном доме, не переданных иным лицам по передаточному акту или иному документу о передаче, с момента выдачи ему разрешения на ввод многоквартирного дома в эксплуатацию.
(п. 7 введен Федеральным законом от 29.06.2015 N 176-ФЗ)