Правомерны ли требования директора о работе учителей в субботу при пятидневке?

Добрый вечер, Екатерина! Очень похоже на самодурство нового директора. У Вас в трудовом договоре не указано, сколько дней в неделю Вы работаете и по сколько часов? Даже если не указано, есть общее правило, установленное законом:

ТК РФ Статья 333. Продолжительность рабочего времени педагогических работников 

Для педагогических работников устанавливается сокращенная продолжительность рабочего времени не более 36 часов в неделю.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Часть вторая утратила силу с 1 сентября 2013 года. — Федеральный закон от 02.07.2013 N 185-ФЗ.
(см. текст в предыдущей редакции)

В зависимости от должности и (или) специальности педагогических работников с учетом особенностей их труда продолжительность рабочего времени (нормы часов педагогической работы за ставку заработной платы), порядок определения учебной нагрузки, оговариваемой в трудовом договоре, и основания ее изменения, случаи установления верхнего предела учебной нагрузки педагогических работников определяются уполномоченным Правительством Российской Федерации федеральным органом исполнительной власти.

Посчитайте сколько выходит у вас. Если больше, то это уже переработка, и она должна дополнительно оплачиваться. В случае нарушения Ваших прав, можете направить индивидуальную или коллективную жалобу в трудовую инспекцию или в прокуратуру. 

Работодатель (в Вашем случае от имени работодателя выступает директор школы) вправе устанавливать шестидневную рабочую неделю. Однако он обязан соблюдать положения статьи 333 ТК РФ.

Согласно ст. 333 ТК РФ для педагогических работников устанавливается сокращенная продолжительность рабочего времени не более 36 часов в неделю.

Работодатель обязан оплачивать труд работника. Согласно ст. 142 ТК РФ работодатель и (или) уполномоченные им в установленном порядке представители работодателя, допустившие задержку выплаты работникам заработной платы и другие нарушения оплаты труда, несут ответственность в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами.