Добрый день, Оксана, я лично не вижу причин, почему вы не можете арендовать земельный участок. Вы не собственник квартиры, квартиру вам предоставляет администрация, которая является владельцем доли в праве общей долевой собственности на земельный участок под многоквартирным домом.
В соответствии с п.4.ч.1. ст.36 ЖК РФ собственникам помещений в многоквартирном доме принадлежит на праве общей долевой собственности земельный участок, на котором расположен данный дом.
Если земельный участок сформирован (поставлен на кадастровый учет), он переходит бесплатно с момента формирования в общую долевую собственность владельцев квартир в многоквартирном доме. А следовательно, эти владельцы вправе определить между собой порядок пользования данным земельным участком (кто какой частью участка пользуется), тем более что у вас там огороды и один владелец уже часть участка использует. Не вижу в законе запрета, если один из владельцев участка сдаст в аренду свою часть. Обратитесь в комитет по имуществу и земле вашего города для оформления права аренды на интересующую вас часть участка, вам в любом случае этот вопрос необходимо выяснить там. Заодно и узнаете сформирован участок под домом или нет.