Нужно ли выписываться при переезде и каковы последствия?

да, нужно.

Статья 6 закона о свободе передвижения — Регистрация гражданина Российской Федерации по месту жительства

Гражданин Российской Федерации (за исключением случая, предусмотренного статьей 6.1 настоящего Закона), изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Законом и правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, непосредственно в орган регистрационного учета с заявлением по установленной форме. При этом предъявляются:
(в ред. Федеральных законов от 06.12.2011 N 399-ФЗ, от 28.12.2013 N 387-ФЗ)
паспорт или иной заменяющий его документ, удостоверяющий личность гражданина;
документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Законом и другими федеральными законами, или его надлежаще заверенная копия. Гражданин Российской Федерации вправе не предъявлять документ, являющийся основанием для вселения гражданина в жилое помещение (договор социального найма, договор найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, прошедшие государственную регистрацию договор или иной документ, выражающие содержание сделки с недвижимым имуществом, свидетельство о государственной регистрации права либо иной документ), если сведения, содержащиеся в соответствующем документе, находятся в распоряжении государственных органов или органов местного самоуправления. В данном случае орган регистрационного учета самостоятельно запрашивает соответствующий документ (сведения, содержащиеся в нем), выписку из соответствующего реестра, иную информацию в соответствии с законодательством Российской Федерации в государственных органах, органах местного самоуправления и производит регистрацию гражданина по месту жительства не позднее восьми рабочих дней со дня подачи им заявления о регистрации по месту жительства и документа, удостоверяющего личность в соответствии с законодательством Российской Федерации.
(в ред. Федеральных законов от 01.07.2011 N 169-ФЗ, от 21.12.2013 N 376-ФЗ)
Заявление, а также иные документы, указанные в настоящей статье, могут быть представлены в форме электронных документов, порядок оформления которых определяется Правительством Российской Федерации, и направлены в орган регистрационного учета с использованием информационно-телекоммуникационных сетей общего пользования, в том числе сети Интернет, включая единый портал государственных и муниципальных услуг.
(часть вторая введена Федеральным законом от 27.07.2010 N 227-ФЗ)
Орган регистрационного учета обязан зарегистрировать гражданина по месту жительства не позднее трех дней со дня предъявления им документов (подачи им заявления и документов в форме электронных документов) на регистрацию.
(в ред. Федерального закона от 27.07.2010 N 227-ФЗ)