Нарушаю ли я авторские права, если на некоммерческой основе играю музыку, скачанную из интернета?

Здравствуйте, Аркадий. Формально, нарушение имеет место быть, если Вы используете произведение без его согласия, однако я сомневаюсь что у него на каждую композицию имеется авторское право, по этому врядли Вам кто то что то будет предъявлять.

Музыкальные произведения, в соответствии со ст. 1229 ГК РФ — объекты авторских прав.
              Статьей 1270 ГК РФ предусмотрено, что автору произведения или иному правообладателю принадлежит исключительное право использовать произведение. При этом, использованием произведения независимо от того, совершаются ли соответствующие действия в целях извлечения прибыли или без такой цели, считается, в частности: запись в память ЭВМ, доведение до всеобщего сведения (ч. 2 ст. 1270 ГК РФ) и другие способы распространения.
                Использование музыкальных произведений может осуществляться третьими лицами только с согласия правообладателя. При этом, правообладателем может быть не только сам автор, но и третьи лица, заключившие с автором договор на использование его произведения (лицензионный договор — ст. 1286 ГК РФ) или договор об отчуждении исключительного права на произведение (ст. 1285 ГК РФ).  Существуют организации, получившие права на музыкальные произведения от множества авторов (посмотрите в сети). Можно заключить с ними соответствующий договор и легально воспроизводить музыку. Иначе, получаете риски привлечения к ответственности.

Ваш случай возможно важен с духовной точки зрения, т.к. требуется соблюдать закон. Пытаться заключить договор на лучших для вас условиях. Никто не знает, может и закончится безвозмездная основа, и пойдет финансовый успех.